知识点动态规划
描述
输入一个长度为n的整型数组array，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组，子数组最小长度为1。求所有子数组的和的最大值。
数据范围:
1 <= n <= 2*10^5
-100 <= a[i] <= 100
要求:时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)
进阶:时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)
示例1
输入：[1,-2,3,10,-4,7,2,-5]
返回值18
说明：经分析可知，输入数组的子数组[3,10,-4,7,2]可以求得最大和为18 示例2
输入：[2]
返回值：2示例3
输入：[-10]
返回值：-10解题思路
**方法1：**连续的子数组，即数组中从i下标到j下标（0<=i<=j<数组长度）的数据，想要获得所有的子数组和，可以通过暴力法，两次循环获得，但时间复杂度为O(n^2)，效率不高。
**方法2：**动态规划，设动态规划列表 dp，dp[i] 代表以元素 array[i] 为结尾的连续子数组最大和。 状态转移方程： dp[i] = max(dp[i-1] + array[i], array[i]);
具体思路如下： 1、遍历数组，比较 dp[i-1] + array[i] 和 array[i]的大小; 2、为了保证子数组的和最大，每次比较 sum 都取两者的最大值; 3、用max变量记录计算过程中产生的最大的连续和dp[i]；
**方法3：**我们可以简化动态规划，使用一个变量sum来表示当前连续的子数组和，以及一个变量max来表示中间出现的最大的和。
代码实现
方法1：暴力法，时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(1)
class Solution {
public:
int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
int Max = array[0];
int sum = 0;
for(int i = 0; i < array.size(); ++i)
{
// 每开启新的循环，需要把sum归零
sum = 0;
for(int j = i; j < array.size(); ++j)
{
// 这里是求从i到j的数值和
sum += array[j];
// 每次比较，保存出现的最大值
Max = max(Max, sum);
}
}
return Max;
}
};方法2：动态规划，时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)
class Solution {
public:
int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
int* dp = new int[array.size()];
int Max = array[0];
dp[0] = array[0];
for(int i = 1; i < array.size(); ++i)
{
// 动态规划，状态转移方程，确定dp[i]的最大值
dp[i] = max(dp[i - 1] + array[i], array[i]);
// 每次比较，保存出现的最大值
Max = max(Max, dp[i]);
}
return Max;
}
};方法3：优化动态规划，时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)
class Solution {
public:
int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
if(array.empty())
return 0;
int Max = array[0];
int sum = array[0];
for(int i = 1; i < array.size(); ++i)
{
// 优化动态规划，确定sum的最大值
sum = max(sum + array[i], array[i]);
// 每次比较，保存出现的最大值
Max = max(Max, sum);
}
return Max;
}
};另一种写法：不用max的写法，就是用 if语句代替
/*
算法时间复杂度 O（n）
用cur记录累计值，maxSum记录和最大
基于思想：对于一个数A，若是A的左边累计数非负，那么加上A能使得值不小于A，认为累计值对
整体和是有贡献的。如果前几项累计值负数，则认为有害于总和，cur记录当前值。
此时 若和大于maxSum 则用maxSum记录下来
*/
class Solution {
public:
int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
if(array.empty())
return 0;
int maxSum = array[0];
int cur = array[0];
for(int i = 1; i < array.size(); ++i)
{
if(cur >= 0)
cur += array[i];
else
cur = array[i];
if(cur > maxSum)
maxSum = cur;
}
return maxSum;
}
};